2019年全國I卷理科數學高考真題下載
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2019年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，則=
A． B． C． D．
2．設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則
A． B． C． D．
3．已知，則
A． B． C． D．
4．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函數f(x)=在的圖像大致為
A． B．
C． D．
6．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是
A． B． C． D．
7．已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為
A． B． C． D．
8．如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
9．記為等差數列的前n項和．已知，則
A． B． C． D．
10．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為
A． B． C． D．
11．關于函數有下述四個結論：
①f(x)是偶函數 ②f(x)在區間（，）單調遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為
A． B． C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．曲線在點處的切線方程為____________．
14．記Sn為等比數列{an}的前n項和．若，則S5=____________．
15．甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．
16．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．(12分)
的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
18．（12分）
如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
19．（12分）
已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
20．（12分）
已知函數，為的導數．證明：
（1）在區間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
21．（12分）
為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．
(i)證明：為等比數列；
(ii)求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．
（1）求C和l的直角坐標方程；
（2）求C上的點到l距離的最小值．
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）
已知a，b，c為正數，且滿足abc=1．證明：
（1）；
（2）．
2019年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學?參考答案
一、選擇題
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空題
13．y=3x 14． 15．0.18 16．2
三、解答題
17．解：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因為，所以．
（2）由（1）知，由題設及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
18．解：（1）連結B1C，ME．
因為M，E分別為BB1，BC的中點，
所以ME∥B1C，且ME=B1C．
又因為N為A1D的中點，所以ND=A1D．
由題設知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．
又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，則
，A1(2，0，4)，，，，，，．
設為平面A1MA的法向量，則，
所以可?。?/div>
設為平面A1MN的法向量，則
所以可?。?/div>
于是，
所以二面角的正弦值為．
19．解：設直線．
（1）由題設得，故，由題設可得．
由，可得，則．
從而，得．
所以的方程為．
（2）由可得．
由，可得．
所以．從而，故．
代入的方程得．
故．
20．解：（1）設，則，.
當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，
設為.
則當時，；當時，.
所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.
（2）的定義域為.
（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.
（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.
又，，所以當時，.從而， 在沒有零點.
（iii）當時，，所以在單調遞減.而，，所以在有唯一零點.
（iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點.
綜上，有且僅有2個零點.
21．解：X的所有可能取值為.
所以的分布列為
（2）（i）由（1）得.
因此，故，即
.
又因為，所以為公比為4，首項為的等比數列．
（ii）由（i）可得
.
由于，故，所以
表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.
22．解：（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為.
的直角坐標方程為.
（2）由（1）可設C的參數方程為（為參數，）.
C上的點到的距離為.
當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為.
23．解：（1）因為，又，故有
.
所以.
（2）因為為正數且，故有
=24.
所以.